m
العناوين الأساسية :
- المويجات
• تعريفها .
• أساسها .
• سبب استخدامها
- تحويل فورييه
• تعريفه الرياضي
• تحويل فورييه القصير زمنيا
• المشاكل في التحويل
- تحويل المويجات
• تعريفه الرياضي
• علاقته بتحويل فورييه
• ميزاته على تحويل فورييه
• تحويل المويجات المستمر (CWT)
• تحويل المويجات المتقطع زمنيا(DWT)
• تابع التدريج
- تحليل و إعادة بنائها
• المرشحات المستخدمة
• شجرة مالات
- إزالة الضجيج
• وضع العتبة
• عامل SNR
- تطبيقات تحويل المويجات



نظرية المويجات (WAVELET) :
هي عبارة عن طريقة تحليلية رياضية تستخدم من أجل معالجة الإشارات للعديد من التطبيقات العملية، وإن أساس هذه النظرية نتاج عمل العالم فورييه مع العلم أنه قد تم إجراء الكثير من التطوير على النظرية الأساسية. لهذا السبب يجب التعرف ولو بشكل عام على نظرية فورييه من أجل فهم نظرية المويجات.

تحويل فورييه Fourier Transform:
قام العالم جوزيف فورييه في عام 1822 بإنتاج ما يعرف بتحليل فورييه، وهو طريقة من أجل تمثيل الإشارات الدورية باستخدام سلسلة من الجيب وجيب التمام، ثم تم تطويرها من أجل أي إشارة حتى لو لم تكن دورية بإنهاء دورها إلى اللانهاية، عندها ينتج ما يعرف بتحويل فورييه، ويقوم التحويل بنقل الإشارة من مجال الزمن إلى مجال التردد وبالعكس، ويعرف تحويل فورييه رياضياً بالتابع التالي:




يبين الشكل (a) تمثيل الإشارة ترددياً، و يبين الشكل (b) تمثيل الإشارة زمنياً


لكن المشكلة هي أن تحويل فورييه يصبح غير فعال للإشارات غير الثابتة (متغيرة التردد) لأنه لا يزودنا بمعلومات عن المحتوى الترددي خلال الزمن. وهذا كما يبين الشكل التالي:



لهذا السبب تم تطوير ما يعرف بتحويل فورييه القصير زمنياً (STFT).

تحويل فورييه القصير زمنياً (STFT):
يقدم هذا التحويل حلاً للمشكلة السابقة عن طريق استخدام ما يعرف بالنافذة ثابتة العرض. إذ يقوم هذا التحويل بتمثيل الإشارة زمنياً وترددياً على حساب دقتها الزمنية والترددية، وهذا يتعلق بالنافذة المستخدمة. والشكل الرياضي لهذا التحويل هو:




حيث x(t) هي الإشارة، وw(t) هو تابع النافذة الذي تتم إزاحته بالمقدار t'. إذ يتم تحريك النافذة على طول الإشارة مع إجراء التحليل بضرب الإشارة بتابع النافذة في عدة نقاط زمنياً، والتابع الأسي ينقل الإشارة من مجال الزمن إلى مجال التردد.

لكن المشكلة في هذا التحويل هو الضياعات الزمنية والترددية، إذ أنه عند استخدام نافذة صغيرة يتم الحصول على دقة عالية من أجل العناصر التي تتغير بسرعة، بينما لا تكون هذه الدقة عالية للعناصر المتغيرة ببطء، ويحدث العكس عند استخدام نافذة كبيرة. لذا تم تطوير ما يعرف بتحويل المويجات.

تحويل المويجات (WT):
باستخدام هذا التحويل تم حل المشكلة السابقة وإن هذا التحويل هو تطوير للطريقة السابقة إذ أنه يستخدم نافذة متغيرة العرض بدلاً من استخدام نافذة ثابتة العرض، إذ يتم تغيير عرض النافذة للحصول على المعلومات مختلفة التردد على طول الموجة، فيتم الحصول على ما يعرف بالمويجات التي يختلف ترددها حسب عرض النافذة المستخدم.




فتقوم النافذة الصغيرة بإنتاج مويجة مضغوطة تتضمن العناصر ذات التردد المرتفع والتي تعرف أيضا بالعوامل التفصيلية، وتقوم النافذة الكبيرة بإنتاج مويجة ممددة تتضمن العناصر ذات التردد المنخفض و التي تعرف أيضا بالعوامل التقريبية.



ويمكن تعريف المويجة على أنها إشارة محدودة الطول الزمني وتمتلك قيمة متوسطة تساوي الصفر. ومن الأمثلة على المويجات المستخدمة:



ويعرف تحويل المويجات (تحويل المويجات المستمر) رياضياً بالعلاقة التالية:




حيث s هو عامل التدريج والذي يمكن اعتباره معكوس التردد بالنسبة للمويجة, ويتم ضغط المويجة عند التدريج المنخفض وتمديدها عند التدريج المرتفع, ولأنه يتم إجراء الحسابات للمويجة بدلالة الزمن والتدريج فإنه يتم تمثيلها (المويجة) على محوري الزمن والتدريج. ويسمى




بالمويجة الأم والذي نحصل من خلاله على بقية المويجات بتغيير قيم التدريجة s والانتقال τ.

يتم إجراء التحليل بطريقة مشابهة لـ STFT، إذ يتم إزاحة النافذة على طول الإشارة من أجل تدريجة معينة (عرض معين للنافذة)، ثم يتم تكرار العملية لمختلف التدريجات (النوافذ).
لكن المشكلة هي العدد الهائل من المويجات الناتجة بسبب استخدام جميع التدريجات في عملية التحليل والكم الهائل من المعلومات التي تنتج أيضاً لنفس السبب، وبالتالي فإن عملية المعالجة تتطلب زمناً طويلاً جداً.

لذا تمّ حلّ هذه المشكلة بتطوير ما يعرف بتحويل المويجات المتقطع (DWT).

تحويل المويجات المتقطع (DWT):
إن الفرق الأساسي بين هذا التحويل وتحويل المويجات المستمر هو أن هذا التحويل يستخدم عدد محدد من التدريجات بدلاً من إجراء التحويل من أجل كافة التدريجات, ويتم ذلك عن طريق اختيار مقاطعات زمنية في الإشارة، وينتج عن التحويل كمية كافية من المعلومات بحيث يكون زمن الحساب قليلاً ومع الحفاظ على المعلومات الأساسية الموصّفة للإشارة (أي دون خسارة معلومات هامة).

والاختلاف الرياضي بين معادلة CWT وDWT هو في المويجة الأم التي يعبر عنها في تحويل DWT بالعلاقة:




حيث j,k أعداد صحيحة و s0 هو درجة التأخير، و τ_0 هو عامل الإزاحة. ويتم عادةً من أجل الإشارات في الطبيعة جعل s0 تساوي (2) و τ_0 تساوي (1).

يوضح هذا الشكل التمثيل الزمني الترددي (التدريجي) لإشارة ناعمة، حيث يمثل المحور العمودي تزايد التردد
أو تناقص التدريج إذ أن






يختلف عدد المويجات المستخدمة كما ويختلف تابع التدريج أيضاً حسب التطبيق، ويكون ذلك كما يلي:
إن استخدام الطريقة المويجية لبعد واحد (مثل الإشارات و التوابع) تعتمد على :

2- مويجةΨ
في حال استخدام الطريقة المويجية لبعدين (مثل الصور) فتعتمد على :

2- ثلاث مويجات

لذا وبناء على ما سبق يمكن أن نكون المقارنة التالية :

تابع التدريج :
لكن المشكلة التي قد تواجهنا هي كيف يمكننا الحصول على كل الأطياف (المويجات) حتى الوصول الى الصفر، إذ أننا عندما نمدد الاشارة فإن الجزء الذي نحصل عليه هو من نصف الاشارة فقط، والسؤال هو ماذا بشأن النصف الثاني؟ لحل هذه المشكلة فإننا لا نلجأ إلى الحصول على كل الأطياف حتى الوصول إلى الصفر بل يتم استخدام ما يشبه القفل، ويقوم هذا القفل بإنهاء عملية التحليل عند الوصول إلى قيمة يتم تحديدها مسبقاً بحيث تكون هذه القيمة صغيرة بما فيه الكفاية لنحصل على عدد كاف من المويجات وبالتالي الحصول على المعلومات الموصفة للإشارة.



وهذا القفل (عبارة عن طيف تمرير تردد منخفض) هو جزء من تابع التدريج الذي يعرف رياضياً حسب العلاقة:




كلما كانت قيمة القفل أصغر أي كان طيف تابع التدريج أصغر كلما نتج عدد أكبر من المويجات وكلما زادت معلومات التدريج. لكن يجب مراعاة أن لا نجعل القفل ينتج عدداً قليلاً من المويجات بحيث يكون التحليل غير فعّال.

تحليل الإشارة وإعادة تركيبها:

نعني بالتحليل تقسيم الإشارة إلى العوامل التقريبية والعوامل التفصيلية التي تم تعريفها مسبقاً. إذ تشكل هذه العوامل (التقريبية والتفصيلية) المويجات التي يتم إنتاجها بضرب الإشارة المدروسة بالمويجة الأم. وبما أن المويجات هي عبارة عن أطياف مختلفة التردد من الإشارة الأصلية فيتم تحقيقها بإدخال الإشارة على مرشحات.

بحيث يتم استخدام مجموعات متتابعة من مرشحات التمرير المنخفض ومرشحات التمرير المرتفع وهذا ما يسمى بشجرة مالات. ينتج مرشح التمرير المرتفع العوامل التفصيلية، بينما ينتج مرشح التمرير المنخفض مع تابع التدريج العوامل التقريبية ( ويتم استخدام تابع التدريج للحصول على العوامل التفصيلية من العوامل التقريبية كما في الشكل).

يبين الشكل شجرة مالات مؤلفة من ثلاثة مراحل ترشيح


في كل مرحلة تحليل ينتج مرشح تمرير نصف الحزمة (المرتفع والمنخفض) إشارات ذات مجال ترددي مساوٍ لنصف المجال الترددي للإشارة الأصلية. وهذا يضاعف الدقة الترددية للإشارة وهذا يعني إمكانية الحصول على المزيد من تفاصيل الإشارة في كل مرحلة تحليل.

ويتم الحصول على الإشارة الأصلية بالتجميع المتسلسل لكل العوامل الناتجة سابقاً (العوامل التقريبية والعوامل التفصيلية) بدءاً من آخر مرحلة تحليل.

يبين الشكل ثلاث مراحل لعملية إعادة التركيب


تتم عملية إعادة التركيب بإدخال العوامل السابقة على مرشحات تركيب ذات تمرير منخفض ومرتفع ومن ثم تجمع، وتستمر هذه العملية بنفس عدد مراحل التحليل حتى الحصول على الإشارة الأصلية.

إزالة الضجيج Noise Removal:
إن أحد التطبيقات الأساسية التي يتم إجرائها على الإشارة بعد تحليلها عن طريق تحويل المويجات هو إزالة الضجيج الموجود في تلك الإشارة.
ينشأ الضجيج لعدة أسباب فمثلاً عند اقتباس إشارة PCG (إشارة النبض) ينشأ الضجيج من أصوات احتكاك الأعضاء الداخلية ببعضها واحتكاك السماعة بالجسم والأصوات الخارجية..... لهذا السبب نحن بحاجة لإزالة الضجيج عن الإشارات حتى نحصل على المعلومات الصحيحة.

باستخدام DWT وجد العلماء بأن معاملات الضجيج الناتجة بعد التحويل تمتاز بتردد أقل من تردد معاملات الإشارة الأصلية، لذا يمكن التخلص من الضجيج عن طريق وضع عتبة ترددية مناسبة بحيث تلغي هذه العتبة معاملات الضجيج وتحافظ على معاملات الإشارة الأصلية، وبما أن التحليل يتم على كامل الإشارة فليس هنالك من خوف من عدم معرفة الجزء الحاوي على الضجيج من الإشارة.

هنالك طريقتان أساسيتان لوضع العتبة وهما :

العتبة القاسية: يتم فيها تصفير القيم ما دون العتبة والمحافظة على القيم الأعلى من العتبة ويتم تعريفها رياضياً بالعلاقة التالية:




العتبة الناعمة: يتم فيها إنهاء القيم ما دون العتبة إلى الصفر والمحافظة على القيم الأعلى من العتبة وتعرّف رياضياً بالعلاقة التالية:




مع أن معادلة العتبة الناعمة أعقد من معادلة العتبة القاسية إلا أن التجارب قد بينت أن نتائج استخدام العتبة الناعمة أفضل من نتائج استخدام العتبة القاسية. والسبب في ذلك هو أنه عند استخدام العتبة القاسية فإن الإشارة الناتجة سيكون فيها انقطاع في النقطة x=± x0

عامل الـ SNR:
هو عبارة عن النسبة بين الإشارة إلى الضجيج، ويعطى بالعلاقة :




ويستخدم كثيرا في التطبيقات، ومنها:

معرفة مدى جودة عملية إزالة الضجيج: إذ يتم حساب قيمة هذا العامل لإشارة تم إزالة الضجيج منها، فإذا كانت قيمته مرتفعة تكون العملية فعالة والعكس صحيح.
معرفة كمية المعلومات المفقودة أثناء عملية إزالة الضجيج: ويتم ذلك عن طريق تطبيق إزلة الضجيج على إشارة خالية من الضجيج، فتكون كمية المعلومات المفقودة قليلة إذا كانت قيمة العامل كبيرة والعكس صحيح.

كما ويستخدم من أجل إضافة ضجيج على إشارة نقية وذلك بمعرفة الإشارة الأصلية وقيمة العامل (ويستخدم هذا الضجيج في العديد من التطبيقات أيضاً كمعرفة جودة إزالة الضجيج أو معرفة تأثير الضجيج على النظام ).



تطبيقات الطريقة المويجية:
الفلك
السمعيات
هندسة القوى النووية
التشفير
فيزيولوجيا الأعصاب

التعرف على الأصوات
البصريات
التنبؤ المبكر عن الزلازل
الرادار
تطبيقات الرياضيات البحتة
حل المعادلات التفاضلية
أنظمة التحليل الرقمي
الحسابات العقدية الدقيقة
معالجة وتشفير وضغط وإزالة الضجيج من الصورة والإشارة
كشف الترددات الصافية
الكشف عن نقطة انهيار الأنظمة
الكشف عن نقطة التحول بعيد المدى.
MRI



jp,dg hgl,d[hj Wavelet Transform hgl,p]hj jp,dg transform wavelet